院試の線形代数では、行列を計算する力に加えて、その計算から何が言え、どの条件が必要なのかを説明する力を確かめておきたいところです。固有値を求められても対角化できる理由が書けない、階数は出せても連立方程式の解の個数につながらない、という段階では、問い方が変わると手が止まります。階数と解空間、固有値と基底を別々に覚えず、一つの例題の中で結び付けると理解を点検できます。
この記事では実数を成分とする小さな行列を使い、計算・条件・検算を順にたどります。掲載する数値例題は説明用に作成した独自問題であり、実際の入試問題の転載や公式解答ではありません。行列の積や連立一次方程式を一度学び、院試に向けて理解の穴を確かめたい人を想定しています。
公式過去問の例として、京都大学数学系の2027年度修士課程入学試験「基礎科目」には、問2で対角化に関する条件、問3で核と像に関する論証を扱う問題があります。ただし、これは一つの大学・年度の例であり、すべての院試で同じ範囲が出るという意味ではありません。自分の志望専攻の要項と過去問で対象範囲を確認したうえで、以下の例題を使ってください。京都大学数学系の過去の入試問題
院試の線形代数は、計算と条件の説明をつなげる
最初に、問題を解くときの見方をそろえます。行列の計算結果だけを集めるのではなく、何を求める問いなのか、結果をどう確かめるのかまで一組にします。同じ行列でも、階数を問う場合と固有値を問う場合では、必要な操作が違います。
| 問われること | 中心となる操作 | 最後に確かめること |
|---|---|---|
| 階数・核・連立方程式 | 行基本変形、未知数の整理 | 元の方程式への代入と次元 |
| 固有値・対角化 | 特性方程式、固有空間の計算 | 独立な固有ベクトルの本数 |
| 直交対角化・二次形式 | 固有ベクトルの正規化 | 直交性と変換後の式 |
| 核・像に関する証明 | 定義、包含関係、次元定理 | 仮定を使った位置と結論 |
変形してよいものと、変形で変わるものを区別する
行基本変形は階数を保ちます。また、連立方程式では右辺も同じ操作で変形すれば、解集合を保てます。一方で、一般の行基本変形は固有値を保ちません。階段形にしてから、その対角成分を元の行列の固有値として読むことはできません。
固有値を保つ変換として使うのは、正則行列Pによる相似変換P⁻¹APです。行基本変形と相似変換は見た目に行列操作が登場しても目的が違います。「何が保存される変形か」を一言で説明できるようにすると、計算手順の取り違えを防げます。
実数上の問題か、複素数上の問題かを先に読む
実行列でも固有値が実数とは限りません。たとえば、上の行が（0, −1）、下の行が（1, 0）の行列は、特性方程式がλ²＋1＝0になります。実数の固有値はありませんが、複素数まで考えるとiと−iという異なる固有値を持ちます。
したがって、「対角化できるか」という問いでは、どの数の範囲で考えるかも条件です。この記事で計算する例題は実数上で扱います。複素数上の内積やエルミート行列を問う問題では、転置と共役転置の区別などが加わるため、そのまま同一視しないようにします。
階数・核・像を一つの行列から求める
階数・核・像は、別々の用語として暗記するより、一つの線形写像で計算すると関係が見えます。ここでは、3成分の入力を2成分の出力へ移す行列Cを考えます。
独自例題1：行列Cの上の行を（1, 2, 3）、下の行を（2, 4, 6）とする。階数、核の基底、像の基底を求める。
階数は独立な方向の数として読む
Cの第2行は第1行の2倍なので、第2行から第1行の2倍を引くとゼロの行になります。残る第1行はゼロではないため、階数は1です。行基本変形後に非零の行が一つあることが、ここでの計算上の根拠です。
列から見ても同じ結果になります。第1列は（1, 2）、第2列はその2倍、第3列はその3倍なので、どの入力を与えても出力は（1, 2）の実数倍になります。像はこの1方向だけからなる空間で、基底として（1, 2）を選べます。ゼロベクトルを基底に含めることはありません。
核はゼロへ移る入力をすべて表す
核Ker Cは、Cx＝0となる入力ベクトルx全体です。xの成分を（x₁, x₂, x₃）とすると、必要な式はx₁＋2x₂＋3x₃＝0だけです。第2行の式は第1行の2倍なので、新しい制約を加えません。
x₂＝s、x₃＝tと置けば、x₁＝−2s−3tです。したがって核に属するベクトルは、s（−2, 1, 0）＋t（−3, 0, 1）と書けます。ここでsとtは任意の実数です。二つのベクトルは、第2成分と第3成分を見れば一次独立だと分かるので、核の基底になります。
「核の基底」を問われたときに、この一般形だけを書いて終わると、どのベクトルを基底として選んだのかが曖昧になります。一般形を導いたあと、基底は（−2, 1, 0）と（−3, 0, 1）、次元は2、と結論を分けて示すと読み取りやすい答案になります。
次元定理の右辺は入力側の次元
有限次元の線形写像では、「核の次元＋像の次元＝定義域の次元」が成り立ちます。この例では2＋1＝3です。Cは2行3列なので、入力側は3次元、出力側は2次元です。右辺を行数の2にしてしまうと、次元定理の使い方を取り違えています。
像の次元は階数に等しいため、階数が1なら核の次元は3−1＝2と計算できます。ただし、次元が分かっただけでは基底を求めたことにはなりません。問題が基底まで要求している場合は、実際の独立なベクトルを示す必要があります。
また、行基本変形後の行列は階数の計算には使えますが、その列ベクトルを元の行列の像の基底として無条件に流用することはできません。像は元の列ベクトルが張る空間です。この例なら、元の第1列（1, 2）を選んだことまで意識しておくと混乱しません。
連立方程式は、解の存在と自由度を分けて考える
同じCでも、右辺によって解が存在するかどうかが変わります。未知数が3個で階数が1だからといって、どんな右辺でも二つの自由変数を持つわけではありません。まず右辺が像に含まれるかを考えます。
独自例題2：例題1のCについて、Cx＝（1, 2）とCx＝（1, 3）の解をそれぞれ調べる。
Cx＝（1, 2）は一つの特解と核で表せる
右辺（1, 2）はCの像に含まれます。式を直接書くと、x₁＋2x₂＋3x₃＝1と、その2倍である第2式になります。たとえば（1, 0, 0）は一つの解です。これを特解と呼びます。
一般解は、特解に同次方程式Cx＝0の解を足して表せます。この例では（1, 0, 0）＋s（−2, 1, 0）＋t（−3, 0, 1）です。実際にCを掛けると、最初の項だけが（1, 2）に移り、残る二つの項はゼロに移ります。逆に、任意の解からこの特解を引くと核に入るため、すべての解をこの形で表せます。
非同次方程式の解集合は、一般にはベクトル空間ではありません。この例ではゼロベクトルが解ではないからです。核というベクトル空間を特解の分だけ平行移動した集合と考えると、自由変数が二つあることと、解集合が原点を通らないことを両立して理解できます。
Cx＝（1, 3）は右辺の整合性で止まる
第2式の左辺は第1式の2倍ですが、右辺は3であり、1の2倍ではありません。第2式から第1式の2倍を引くと、0＝1となるので解は存在しません。階数の計算だけを進める前に、右辺の矛盾を確認する場面です。
拡大係数行列を使うと、この違いも整理できます。右辺を加えた行列の階数と、係数行列Cの階数が等しいときに解が存在します。（1, 2）の場合はどちらも1、（1, 3）の場合は拡大係数行列の階数が2になり一致しません。
| 右辺 | 係数行列の階数 | 拡大係数行列の階数 | 結論 |
|---|---|---|---|
| （1, 2） | 1 | 1 | 解が存在し、自由変数は2個 |
| （1, 3） | 1 | 2 | 解は存在しない |
一般に、未知数がn個で解が存在する場合、自由度はnから係数行列の階数を引いた数です。正方行列でない場合にもこの考え方を使えます。「解が存在する」という前提を抜かして自由度だけ答えないことがポイントです。
固有値から対角化まで、必要な条件を確かめる
対角化は、固有値を対角線に並べれば終わる操作ではありません。固有ベクトルを並べた行列Pが正則になり、基底を取り替えられることが必要です。まず対角化できる例を計算し、そのあと重解を持つ例と比べます。
独自例題3：Aの上の行を（2, 1）、下の行を（1, 2）とする。固有値・固有ベクトルを求め、対角化する。
固有値ごとに固有空間を求める
det（A−λI）は（2−λ）²−1で、展開するとλ²−4λ＋3です。（λ−1）（λ−3）＝0より、固有値は1と3になります。ここではIは2次の単位行列、λは固有値を表す文字です。
λ＝3では（A−3I）v＝0から、第1成分と第2成分が等しいことが分かります。固有ベクトルとして（1, 1）を選べます。λ＝1では二つの成分の和が0になるので、（1, −1）を選べます。固有ベクトルはゼロでないことが条件であり、0でない定数倍をしても同じ固有値に対応します。
Pの第1列を（1, 1）、第2列を（1, −1）にすると、det P＝−2なのでPは正則です。Dの対角成分をこの列順に合わせて3、1と置けば、AP＝PD、したがってP⁻¹AP＝Dが成り立ちます。固有値の順番は自由ですが、Pの列とDの対角成分の順番は対応させます。
答案では、P⁻¹を計算して三つの行列を掛ける方法のほか、APとPDが一致することを確かめる方法も使えます。ただし、後者でもPが正則であることは別に示します。AP＝PDだけでは、基底を取り替えられるとは限りません。
重解があるときは、固有ベクトルの独立な本数を見る
独自例題4：Bの上の行を（1, 1）、下の行を（0, 1）とする。実数上で対角化できるかを調べる。
Bの特性多項式は（1−λ）²で、固有値は1だけです。（B−I）v＝0を解くと、第2成分が0になり、固有空間は（1, 0）が張る1次元の空間です。2次の行列を対角化するには一次独立な固有ベクトルが2本必要ですが、この例では1本しか選べません。したがってBは対角化できません。
一方、単位行列Iも固有値1を重解として持ちますが、すべての非零ベクトルが固有ベクトルになり、固有空間の次元は2です。Iはすでに対角行列です。重解があるという事実だけで、対角化の可否を決めることはできません。
「相異なるn個の固有値を持つn次行列は対角化できる」は十分条件です。異なる固有値に対応する固有ベクトルは一次独立になるためです。重解がある場合は、各固有空間の次元を合計してnになるかを確かめます。その際、特性多項式が考えている数の範囲で一次式に分解できることも必要です。
対称行列は直交対角化し、二次形式を読み替える
実対称行列では、正規直交基底となる固有ベクトルを選べます。例題3のAは転置しても変わらない対称行列なので、先ほどの固有ベクトルを正規化して直交対角化できます。
長さを1にして直交行列を作る
（1, 1）と（1, −1）の内積は0で、それぞれの長さは√2です。両方を√2で割ったベクトルを列に並べた行列をQとすると、Qの列は互いに直交し、長さは1になります。したがってQᵀQ＝Iであり、Q⁻¹＝Qᵀです。ここで上付きのTは転置を表します。
このQについて、QᵀAQの対角成分は3、1になります。単に固有ベクトルを並べたPでも対角化はできますが、その列の長さを1にしていなければ、P⁻¹をPᵀに置き換えることはできません。「対角化」と「直交対角化」の違いは、逆行列を転置で表せることにも現れます。
重複した固有値を持つ実対称行列でも、直交対角化は可能です。同じ固有空間の中から選んだ基底が最初から直交しているとは限りませんが、その空間の中で正規直交基底を作れます。例題4のBは対称行列ではないため、この性質を適用できません。
二次形式の交差項は、行列の二つの成分から生じる
独自例題5：f（x, y）＝2x²＋2xy＋2y²を、直交変換で交差項のない形に直す。
この二次形式は、例題3のAを使った（x, y）A（x, y）ᵀに対応します。xyの係数が2なのに、Aの非対角成分が1である点に注意が必要です。上側と下側の二つの成分から、それぞれxyが生じ、合計で2xyになるためです。
新しい座標をu、vとし、（x, y）ᵀ＝Q（u, v）ᵀと置きます。具体的にはx＝（u＋v）/√2、y＝（u−v）/√2です。この式を代入すると、f＝3u²＋v²になります。行列で計算するなら、QᵀAQが対角行列になったことから同じ式を得られます。
3と1はいずれも正なので、（u, v）がゼロでない限りfは正です。Qは正則なので、元の（x, y）がゼロでないことと、新しい（u, v）がゼロでないことは同値です。したがってこの二次形式は正定値です。単に係数が正と述べるだけでなく、変数変換が可逆である点も結論を支えています。
制約があるときは、変換後にも条件を移す
たとえばx²＋y²＝1の下でfの最大値・最小値を求めるなら、直交変換によってu²＋v²＝1も成り立ちます。そのためf＝3u²＋v²＝1＋2u²となり、最小値は1、最大値は3です。最小値はu＝0、最大値はv＝0で達成されます。
元の座標では、最小値を取るのは（1/√2, −1/√2）とその符号を逆にした点、最大値を取るのは（1/√2, 1/√2）とその符号を逆にした点です。値だけでなく、どこで達成するかを問われている場合は、元の座標まで戻します。一般の正則な変数変換では長さが保たれるとは限らないので、同じ制約をそのまま移せるとは限りません。
証明問題は定義から出発し、条件を使った場所を示す
計算例で用語をつかんだら、次は行列の成分が与えられない問題を考えます。定義を書き直すことが、証明の最初の一手になります。結論だけを言い換えて終わらず、任意のベクトルを一つ取り、そのベクトルがどの空間に属するかを追います。
像が核に含まれる条件を証明する
独自例題6：実数上の有限次元ベクトル空間VからVへの線形写像Tについて、T²＝0とIm T⊆Ker Tが同値であることを示す。
まずT²＝0を仮定します。Im Tの任意の元yを取ると、像の定義からy＝T（x）となるxが存在します。したがってT（y）＝T（T（x））＝0です。これはyがKer Tに属することを意味するので、Im T⊆Ker Tが示せます。
逆にIm T⊆Ker Tを仮定します。Vの任意の元xについて、T（x）は定義からIm Tに属します。仮定によってKer Tにも属するため、T（T（x））＝0です。これがすべてのxで成り立つので、T²＝0になります。同値を問われているため、二つの向きを示して初めて証明が完了します。
この証明では、Tが同じ空間Vに戻る写像である点も意味を持ちます。入力と出力の空間が異なる写像では、Tを続けて2回作用させるT²が、そのまま定義できるとは限りません。記号に慣れてきたときほど、写像の始域と終域を読み飛ばさないようにします。
包含関係と次元を組み合わせる
例題6の条件が成り立ち、Vの次元をn、Tの階数をrとします。像が核に含まれるので、rは核の次元以下です。次元定理から核の次元はn−rであり、r≤n−r、したがって2r≤nが得られます。
この不等式だけで、像と核が等しいと結論することはできません。たとえばVが零次元でないときの零写像なら像はゼロだけ、核はV全体です。像と核の包含に加えて次元が等しいと分かる場合に、二つの空間が一致すると言えます。「含まれる」と「等しい」の違いを、次元が埋めていると考えると証明の構造が整理できます。
検算で答案の矛盾を見つける
検算では同じ計算を最初から繰り返すだけでなく、別の関係式を使います。同じ順序の計算をなぞると、符号の思い込みまで繰り返すことがあります。短い確認式を用意しておくと、誤りの場所を絞りやすくなります。
| 計算した結果 | 別の確かめ方 | 例題での確認 |
|---|---|---|
| 核の基底 | 元の行列を掛けてゼロになるか | C（−2, 1, 0）ᵀ＝0 |
| 固有値と固有ベクトル | Av＝λvへ代入する | A（1, 1）ᵀ＝3（1, 1）ᵀ |
| 固有値の組 | 和と積を跡・行列式に照合する | 3＋1＝4、3×1＝3 |
| 直交行列 | 列の長さと内積を調べる | 長さは1、異なる列の内積は0 |
一つのチェックが通っても、答案全体の正しさとは限らない
固有値の和が行列の跡に一致し、積が行列式に一致しても、それだけで固有ベクトルまで正しいとは言えません。特に大きな行列では、和と積が一致する別の数の組も考えられます。計算した固有値を特性方程式へ戻し、固有ベクトルはAv＝λvで別に確かめます。
同様に、核の候補ベクトルにCを掛けてゼロになっただけでは、それらが核全体の基底だとは言い切れません。候補同士の一次独立性と、必要な次元を満たす本数があることも確認します。条件を一つずつ満たすと、検算が単なる数合わせではなくなります。
間違えた理由を、次の一問で確かめる
例題4で「固有値が1だけだから対角化できない」と答えたなら、次に単位行列を見て、その理由で説明できるかを試します。例題2で「階数1だから解は二つの自由変数で表せる」と答えたなら、右辺（1, 3）を代入して矛盾を確かめます。このように条件を一つ変えた例で、自分の説明がどこまで通用するかを見る方法があります。
過去問全体の回し方や教材選びは、専門科目を過去問起点で進める勉強法と院試専門科目の参考書の選び方で整理しています。本記事の例題が解けたら、それだけで志望先の準備完了とせず、対象の過去問へ戻って、より大きな行列や抽象的な設定でも根拠を説明できるか確かめます。
院試の線形代数でよくある質問
最後に、例題を解くときに混同しやすい点を短くまとめます。解答の結論だけでなく、成り立つ条件も一緒に思い出すための確認に使ってください。
固有値が重解なら、対角化できませんか？
重解だけでは決まりません。必要な数の一次独立な固有ベクトルを選べれば対角化できます。例題4のBでは固有空間が1次元なので不可能ですが、2次の単位行列では2次元なので可能です。
階数が分かれば、連立方程式の解の数も分かりますか？
右辺との整合性も必要です。係数行列と拡大係数行列の階数が一致して初めて解が存在します。そのうえで、未知数の個数から係数行列の階数を引くと自由度が分かります。
この例題だけで、院試の線形代数を網羅できますか？
網羅はしていません。内積空間、射影、最小多項式など、専攻によって準備する範囲は広がります。ここでは階数・対角化・基本的な論証の接続を点検しています。東大を志望する場合の範囲確認は、東大院試の数学対策も参照してください。
まとめ：数値と根拠の両方を答案に残す
階数を求めたら核と像の次元につなげ、連立方程式では右辺との整合性を確かめます。固有値を求めたら固有空間まで調べ、対角化に必要な基底を作れるか判断します。実対称行列なら正規直交基底へ進み、二次形式の変換にも同じ計算を使えます。
解き直すときは、最終結果を再現できたかに加えて、「この条件が変わると何が言えなくなるか」を一つ説明してみてください。計算、条件、検算がつながると、初めて見る設定でも、どの定義や定理から始めるかを考えやすくなります。
参考にした公式情報
京都大学の2027年度基礎科目の問題と出題意図では、行列の計算と線形写像の論証を問う実例を確認できます。基礎概念の復習資料としては、大学の公開教材MIT OpenCourseWare「Linear Algebra」もあります。こちらは英語の学部授業であり、日本の大学院入試の出題範囲を定めた資料ではありません。